Question

【題目】已知數列的前項和為，且滿足.

（I）求證：是等比數列；

（II）求證：不是等比數列.

Answer 1

【答案】(1) 證明見解析.

(2)證明見解析.

【解析】分析：（I）由，則時，，兩式相減，化簡得到

，即可得到數理是公比為的等比數列；

（II）(方法一)由（I）知是等比數列，所以，于是，解得，即可得到數列不是等比數列.

(方法二) 由（I）得，因此，求得于是假設是等比數列，則有，解得，即可得不是等比數列.

詳解：（I）因為，所以當時，

兩式相減得，

即，

因此，

故是公比為的等比數列.

（II）(方法一)假設是等比數列，則有，

即.

由（I）知是等比數列，所以，

于是，即，解得，

這與是等比數列相矛盾，

故假設錯誤，即不是等比數列.

(方法二) 由（I）知，所以，因此.

于是，

假設是等比數列，則有，

即，解得，

這與相矛盾，

故假設錯誤，即不是等比數列.