Question

【題目】設F（0，1），點P在x軸上，點Q在y軸上， =2 ， ⊥ ，當點P在x軸上運動時，點N的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過點F的直線l交曲線C于A，B兩點，且曲線C在A，B兩點處的切線相交于點M，若△MAB的三邊成等差數列，求此時點M到直線AB的距離．

Answer 1

【答案】
（1）解：設N（x，y），

∵點P在x軸上，點Q在y軸上， =2 ， ⊥ ，

∴P（ ，0），Q（0，﹣y），

∵F（0，1），∴ =（ ，y）， =（﹣ ，1），

∵ ⊥ ，∴ =﹣ +y=0，

∴曲線C的方程為x2=4y．

（2）解：設A（x1，y1），B（x2，y2），直線l：y=kx+1，

聯立 ，得x2﹣4kx﹣4=0，

則x1+x2=4k，x1x2=﹣4，

直線MA的方程為 ，直線MB的方程為 ，

聯立 ，得M（2k，﹣1），

∴點M到直線AB的距離d=2 ，

∵kMAkMB= =﹣1，∴MA⊥MB，

∴|MA|2+|MB|2=|AB|2，①

∵△MAB的三邊成等差數列，不妨設|MA|＜|MB|，

∴|MA|+|AB|=2|MB|，②

由①②，得|MA|：|MB|：|AB|=3：4：5，

∵S△MAB= = |AB|d，∴ = ，

又|AB|=4（k2+1），

∵ = = ，∴ = ，

∴點M到直線AB的距離d=2 = ．

【解析】（1）設N（x，y），則P（ ，0），Q（0，﹣y），由此根據題設條件能求出曲線C的方程．（2）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），直線l：y=kx+1，與橢圓聯立，得x2﹣4kx﹣4=0，由此利用韋達定理、點到直線距離公式、等差數列、勾股定理、橢圓性質，結合已知條件能求出點M到直線AB的距離．