Question

已知集合A={x|x²+3x+2≥0}，B={x|mx²-4x+m-1＞0，m∈R}，若A∩B=∅，且A∪B=A，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：交集及其運算,并集及其運算

專題：集合

分析：先化簡集合A={x|x²+3x+2≥0}={x|x≤-2或x≥-1}，再由A∩B=∅，得出集合B=∅或B={x|-2＜x＜-1}．再由A∪B=A，得B⊆A，從而有對一切x∈R，mx²-4x+m-1≤0恒成立，再由判別式求解．

解答： 解：由已知A={x|x²+3x+2≥0}={x|x≤-2或x≥-1}，
由A∩B=∅得：
（1）∵A非空，∴B=∅；
（2）∵A={x|x≤-2或x≥-1}，
∴B={x|-2＜x＜-1}；
∵A∪B=A，B⊆A，
∴上面（2）不成立，否則A∪B=R，與題設A∪B=A矛盾，
∴上面（1）成立，即B=∅，
由已知B={x|mx²-4x+m-1＞0}，m∈R結合B=∅，
得對一切x∈R，mx²-4x+m-1≤0恒成立，
于是，有

m＜0 16-4m(m-1)≤0

，
解得：m≤

1- 17

2

，
則m的取值范圍是{m|m≤

1- 17

2

}．

點評：此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵．