Question

在四面體ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，△ABD為等邊三角形，CD⊥BD，∠DBC=30°
（1）求二面角A-DC-B的大小；
（2）求二面角A-BC-D的平面角的正切值；
（3）求二面角D-AB-C的平面角的正切值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法

專題：空間角

分析：（1）要求二面角A-DC-B的大小，可找出該二面角的平面角，由面面垂直的性質定理即可得到∠ADB為二面角的平面角，然后解直角三角形得答案；
（2）由平面ABD⊥平面BCD，可在平面ABD內過A作BD的垂線交BD于E點，過E作BC的垂線交BC于F點，由線面垂直的判斷得到AF⊥BC，從而得到∠AFE是二面角A-BC-D的平面角，則其正切值可求；
（3）過點D作AB的垂線交AB于G點，連接GC，由△ACD≌△BCD可得AC=BC，進一步說明∠CGD是二面角D-AB-C的平面角，然后通過求解直角三角形得答案．

解答： 解：如圖，
（1）∵平面ABD⊥平面BCD，DC在平面BCD上，而且CD⊥BD，
∴CD⊥平面ABD，
∴CD⊥AD，
已知CD⊥BD，
∴∠ADB是二面角A-DC-B的平面角，
∵△ABD為等邊三角形，
∴二面角A-DC-B=∠ADB=60°；
（2）過點A作BD的垂線交BD于E點，則AE⊥面BCD，AE⊥BC，
過E作BC的垂線交BC于F點，則BC⊥面AEF，
∴AF⊥BC，
∴∠AFE是二面角A-BC-D的平面角，
∴tan∠AFE=

AE

EF

=2

3

；
（3）過點D作AB的垂線交AB于G點，連接GC，
∵CD⊥平面ABD，△ACD和△BCD均為直角三角形，且BD=AD，CD為公共邊，
∴△ACD≌△BCD，
∴AC=BC，
∵ABD為等邊三角形，DG⊥AB，
∴G為AB中點，
∴CG⊥AB，
∴∠CGD是二面角D-AB-C的平面角，
∵CD⊥平面ABD，
∴CD⊥DG，
∵∠DBC=30°，設CD=

3

，
則BD=3，可得DG=

2

3

3

，
∴tan∠CGD=

CD

DG

=

2

3

．

點評：本題考查了二面角的平面角的求法，考查了學生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．