Question

求證：lnx＜

1

2

x²-

1

2

x（x≥2）．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的概念及應用

分析：設f（x）=lnx-

1

2

x²+

1

2

x（x≥2），轉化為證明當x≥2時，f（x）＜0恒成立，則f′（x）=

1

x

-x+

1

2

，利用導數性質能證明當x≥2時，lnx＜

1

2

x²-

1

2

x成立．

解答： 解：證明：設f（x）=lnx-

1

2

x²+

1

2

x（x≥2），
則f′（x）=

1

x

-x+

1

2

，
∵當x≥2時，f′（x）=

1

x

-x+

1

2

=

-2x2+x+2

2x

＜0，
∴則f（x）在（2，+∞）上單調遞減，f（x）≤f（2）=ln2-

1

2

×4+

1

2

×2=ln2-1＜0
∴f（x）＜0，
即lnx-

1

2

x^2₊

1

2

x，
lnx＜

1

2

x²-

1

2

x成立．

點評：本題考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意構造法和導數性質的合理運用．