Question

【題目】已知平面上的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）及兩定點(diǎn)A（﹣2，0），B（2，0），直線(xiàn)PA，PB的斜率分別是 k1 ， k2且 ．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)l：y=kx+m與曲線(xiàn)C交于不同的兩點(diǎn)M，N． ①若OM⊥ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），證明點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離為定值，并求出這個(gè)定值
②若直線(xiàn)BM，BN的斜率都存在并滿(mǎn)足 ，證明直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得 ，（x≠±2），即x2+4y2=4（x≠±2）．

∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程是

（2）解：設(shè)點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立 ，化為（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，

∴△=64k2m2﹣16（m2﹣1）（1+4k2）=16（1+4k2﹣m2）＞0．

∴ ， ．

∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）= ，

① 若OM⊥ON，則x1x2+y1y2=0，∴ ，

∴ ，化為 ，此時(shí)點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離d= ．

②∵kBMkBN=﹣ ，∴ ，

∴x1x2﹣2（x1+x2）+4+4y1y2=0，

∴ + ，

代入化為 ，化簡(jiǎn)得m（m+2k）=0，解得m=0或m=﹣2k．

當(dāng)m=0時(shí)，直線(xiàn)l恒過(guò)原點(diǎn)；

當(dāng)m=﹣2k時(shí)，直線(xiàn)l恒過(guò)點(diǎn)（2，0），此時(shí)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C最多有一個(gè)公共點(diǎn)，不符合題意，

綜上可知：直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn)（0，0）

【解析】（1）利用斜率計(jì)算公式即可得出；（2）把直線(xiàn)l的方程與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，①利用OM⊥ONx1x2+y1y2=0即可得到k與m的關(guān)系，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式即可證明； ②利用斜率計(jì)算公式和根與系數(shù)的關(guān)系即可得出k與m的關(guān)系，進(jìn)而證明結(jié)論．