Question

設三角函數f(x)=sin(

kπ

5

+

π

3

)，其中k≠0．
（1）寫出f（x）極大值M、極小值m與最小正周期；
（2）試求最小的正整數k，使得當自變量x在任意兩個整數間（包括整數本身）變化時，函數f（x）至少有一個值是M與一個值是m．

Answer 1

分析：（1）根據正弦函數的性質可知函數f(x)=sin(

kπ

5

+

π

3

)最大值為1，最小值為-1，ω=

kπ

5

進而根據T=

2π

ω

可得函數的周期．
（2）f（x）在它的每一個周期中都恰好有一個值是M與一個值是m．而任意兩個整數間的距離都≥1，因此要使任意兩個整數間函數f（x）至少有一個值是M與一個值是m，必須且只須使f（x）的周期≤1，進而可知

10π

|k|

≤1，可得k的范圍．

解答：解：（1）M=1，m=-1，T=

5×2π

|k|

=

10π

|k|

．
（2）f（x）在它的每一個周期中都恰好有一個值是M與一個值是m．
而任意兩個整數間的距離都≥1，
因此要使任意兩個整數間函數f（x）至少有一個值是M與一個值是m，
必須且只須使f（x）的周期≤1，
即：

10π

|k|

≤1，|k|≥10π=31.4．
可見，k=32就是這樣的最小正整數．

點評：本題主要考查了函數y=Asin（ωx+φ）的圖象的性質．屬基礎題．