Question

某公司生產的某批產品的銷售量P萬件（生產量與銷售量相等）與促銷費用x萬元滿足P=

x+2

4

（其中0≤x≤a，a為正常數）．已知生產該產品還需投入成本6（P+

1

P

）萬元（不含促銷費用），產品的銷售價格定為（4+

20

p

）元/件．
（1）將該產品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數；
（2）促銷費用投入多少萬元時，該公司的利潤最大？

Answer 1

考點：函數模型的選擇與應用

專題：應用題,函數的性質及應用

分析：（1）根據產品的利潤=銷售額-產品的成本建立函數關系；
（2）利用導數基本不等式可求出該函數的最值，注意等號成立的條件．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知，y=（4+

20

p

）p-x-6（p+

1

p

），
將p=

x+2

4

代入化簡得：y=19-

24

x+2

-

3

2

x（0≤x≤a）；
（Ⅱ）y=22-

3

2

（

16

x+2

+x+2）≤22-3

16 x+2 ×(x+2)

=10，
當且僅當

16

x+2

=x+2，即x=2時，上式取等號；
當a≥2時，促銷費用投入2萬元時，該公司的利潤最大；
y=19-

24

x+2

-

3

2

x，y′=

24

(x+2)2

-

3

2

，
∴a＜2時，函數在[0，a]上單調遞增，
∴x=a時，函數有最大值．即促銷費用投入a萬元時，該公司的利潤最大．

點評：本題主要考查了函數模型的選擇與應用，以及基本不等式在最值問題中的應用，同時考查了計算能力，屬于中檔題．