Question

已知拋物線C：y²=2x
（1）求拋物線C上點P到B(-

1

2

，1)的距離與P到直線x=-

1

2

的距離之和的最小值；
（2）直線y=x-b與拋物線C交于A，B兩點，且OA⊥OB，O為坐標原點，求b的值．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）根據拋物線的方程求出焦點F的坐標、準線方程，利用拋物線的定義將所求的而距離和進行轉化，利用三角形三邊的關系求出最小值；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y_，2），聯立直線方程和拋物線方程消去y得到關于x的方程，利用韋達定理求出x₁+x₂、x₁x₂以及b的范圍，利用向量垂直的條件和數量積的運算列出方程，求出b的值．

解答： 解：（1）由拋物線C：y²=2x得，焦點F（

1

2

，0）、準線方程x=-

1

2

，
由拋物線的定義得，P到直線x=-

1

2

的距離d=|PF|，
所以|PB|+d=|PB|+|PF|≥|BF|=

2

，
即所求的最小值是

2

；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y_，2），
由

y2=2x y=x-b

得，x²-（2b+2）x+b²=0，
所以△=（2b+2）²-4b²=8b+4＞0，得b＞-

1

2

，
x₁+x₂=2b+2，x₁x₂=b²，
由OA⊥OB得，

OA

•

0B

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，
x₁x₂+（x₁-b）（x₂-b）=0，
2x1x2-b(x1+x2)+b2=0
所以2b²-b（2b+2）+b²=0，即b²-2b=0，
解得b=0或b=2，
又b≠0，所以b=2．

點評：本題考查拋物線的方程以及定義，向量垂直的條件和數量積的運算，以及設而不求思想，考查化簡計算能力．