Question

使函數(shù)f（x）=sin（2x+θ）+

3

cos（2x+θ）的圖象關(guān)于原點對稱，且滿足?x₁，x₂∈[0，

π

4

]，恒有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0的θ的一個值是（　　）

• A、

  π

  3

• B、

  2π

  3

• C、

  4π

  3

• D、

  5π

  3

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：依題意知y=f（x）為R上的奇函數(shù)，由f（0）=sin（θ+

π

3

）=0，可得θ=kπ-

π

3

（k∈Z），排除A、C、D，對B選項，利用已知信息驗證即可．

解答： 解：∵f（x）=sin（2x+θ）+

3

cos（2x+θ）=2sin（2x+θ+

π

3

）的圖象關(guān)于原點對稱，
∴y=f（x）為R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=sin（θ+

π

3

）=0，
∴θ+

π

3

=kπ（k∈Z），θ=kπ-

π

3

（k∈Z），可排除A、C、D，
又?x₁，x₂∈[0，

π

4

]，恒有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，
∴當x∈[0，

π

4

]時，f（x）為減函數(shù)，
對于B，當θ=

2π

3

時，f（x）=2sin（2x+π）=-2sin2x在[0，

π

4

]上為減函數(shù)，符號題意，
故選：B．

點評：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，求得θ=kπ-

π

3

（k∈Z），排除A、C、D是關(guān)鍵，看出正弦函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，考查轉(zhuǎn)化思想．