Question

如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=2

2

，∠BAD=∠CDA=45°．
（Ⅰ）求異面直線CE與AF所成角的余弦值；
（Ⅱ）求證：平面CDE⊥平面ABF；
（Ⅲ）求五面體ABCDEF的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,異面直線及其所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）以A為坐標原點，AD所在直線為y軸，AF所在直線為z 軸，建立空間直角坐標系如圖所示，利用向量法能求出異面直線CE與AF所成角的余弦值．
（Ⅱ）過B點作BG∥CD，交AC于點G，由已知得CD⊥AB，FA⊥CD，從而CD⊥平面ABF，由此能證明平面CDE⊥平面ABF．
（Ⅲ）五面體ABCDEF的體積V=V_F-ABCD+V_C-DEF，由此能求出結果．

解答： （本小題滿分12分）
（Ⅰ）解：以A為坐標原點，AD所在直線為y軸，AF所在直線為z 軸，
建立空間直角坐標系如圖所示，
則A（0，0，0），C（

2

2

，

3 2

2

，0），
E（0，2

2

，2

2

），F（0，0，2

2

），

CE

=（-

2

2

，

2

2

，2

2

），

AF

=（0，0，2

2

），
設異面直線CE與AF所成角為θ，
cosθ=|cos＜

CE

，

AF

＞|=|

8

9 •2 2

|=

2 2

3

．
（Ⅱ）證明：過B點作BG∥CD，交AC于點G，
由已知得BG⊥AB，∴CD⊥AB，
又∵FA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴FA⊥CD，又AB∩FA=A，∴CD⊥平面ABF，
又CD?平面CDE，∴平面CDE⊥平面ABF．
（Ⅲ）解：由已知得AD=FA=2

2

，FA⊥平面ABCD，
BC=

2

，C到平面DEF的距離d=

2

2

，
S_梯形ABCD=

1

2

(2

2

+

2

)×

2

2

=

3

2

，
S_△DEF=

1

2

×2

2

×2

2

=4，
∴五面體ABCDEF的體積：
V=V_F-ABCD+V_C-DEF
=

1

3

S梯形ABCD×AF+

1

3

S△DEF×d
=

1

3

×

3

2

×2

2

+

1

3

×4×

2

2

=

5 2

3

．

點評：本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎知識，考查空間想象能力，運算能力和推理論證能力．