Question

如圖，某隧道設計為雙向四車道，車道總寬22m，要求通行車輛取高4.5m，隧道全長2.5km，隧道的拱線近似半個橢圓形狀．

（1）若最大拱高h為6m，則隧道設計的拱寬l是多少？

（2）若最大拱高h不小于6m，則應如何設計拱高h和拱寬l，才能使半個橢圓形隧道的土方工程量最小？

（半個橢圓的面積公式為，柱體體積為：底面積乘以高．本題結果精確到0.1m）

Answer 1

答案：
解析：

（1）如圖建立直角坐標系，則點P(11，4.5)，橢圓方程為．將b=h=6與點P坐標代入橢圓方程，得，此時．因此隧道的拱寬約為33.3m． （2）解法一：由橢圓方程，得．因此即ab³99，且l=2a，h=b，所以． 當S取最小值時，有，得，  此時，h=b»6.4故當拱高約為6.4m、拱寬約為31.1m時，土方工程量最小． 解法二：由橢圓方程，得．于是， ， 由ab³99，當S取最小值時，有，得，．以下同解法一．