Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝x2－ax－alnx(a∈R)．

(1)若函數(shù)f(x)在x＝1處取得極值，求a的值；

(2)在(1)的條件下，求證：f(x)≥－＋－4x＋.

Answer 1

【答案】(1) a＝1.(2) 見解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)極值的定義即導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，求導(dǎo)使得f′(1)＝0，解得a＝1；并檢驗(yàn)a＝1時(shí)1是函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)即可（2）構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f(x)－，研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，使得這個(gè)函數(shù)的最小值大于等于0即可.

解析：

(1)解　f′(x)＝2x－a－，由題意可得f′(1)＝0，解得a＝1.經(jīng)檢驗(yàn)，a＝1時(shí)f(x)在x＝1處取得極值，所以a＝1.

(2)證明　由(1)知，f(x)＝x2－x－lnx，

令g(x)＝f(x)－

＝－＋3x－lnx－，

由g′(x)＝x2－3x＋3－＝－3(x－1)＝ (x>0)，可知g(x)在(0,1)上是減函數(shù)，

在(1，＋∞)上是增函數(shù)，所以g(x)≥g(1)＝0，所以f(x)≥－＋－4x＋成立．