Question

設函數f（x）=ax-

b

x

，曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0．則曲線y=f（x）上任一點處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為

 

．

Answer 1

考點：定積分,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：已知曲線上的點，并且知道過此點的切線方程，容易求出斜率，又知點（2，f（2））在曲線上，利用方程聯立解出a，b；可以設P（x₀，y₀）為曲線上任一點，得到切線方程，再利用切線方程分別與直線x=0和直線y=x聯立，得到交點坐標，接著利用三角形面積公式即可．

解答： 解：因為函數f（x）=ax-

b

x

，曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0．所以f′（x）|_x=2=a+

b

x2

|_x=2=

7

4

，所以

a+ b 4 = 7 4 2a- b 2 = 1 2

，解得

a=1 b=3

，故f（x）=x-

3

x

．

設P（x₀，y₀）為曲線上任一點，由y′=1+

3

x2

知
曲線在點P（x₀，y₀）處的切線方程為y-y₀=（1+

3

x02

）（x-x₀），
令x=0，得y=-

6

x0

，從而得切線與直線x=0的交點坐標為（0，-

6

x0

）；
令y=x，得y=x=2x₀，從而得切線與直線y=x的交點坐標為（2x₀，2x₀）；
所以點P（x₀，y₀）處的切線與直線x=0，y=x所圍成的三角形面積為

1

2

|-

6

x0

||2x₀|=6．
故曲線y=f（x）上任一點處的切線與直線x=0，y=x所圍成的三角形面積為定值，此定值為6．
故答案為：6．

點評：本題考查了導數及直線方程、三角形面積的相關知識，運算量較大，屬于中檔題