Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，側棱PA⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，PB=PC，AB=1，，E，F分別是BC，PC的中點．
（1）求證：AC⊥平面PAB；
（2）當時，求二面角F-AE-C的大小．

Answer 1

（1）證明：∵PA⊥平面ABCD，
∴PB的射影是AB，PC的射影是AC，
∵PB=PC，∴AB=AC
∴AB=AC=1，且，
∴△ABC是直角三角形，且，…（3分）
∴AC⊥AB，
∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD
∴PA⊥AB，
∵PA∩AC=A，
∴AC⊥平面PAB…（6分）
（2）解法1：由（1）∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD
∴PA⊥AC，又，故在Rt△PAC中，AC=1，∴，PC=2，
從而，
又在Rt△ABC中，，
在等腰三角形△FAE，分別取AC中點N和AE中點M，連接FN，FM和MN，
∴中位線FN∥PA，且PA⊥平面ABCD，
∴FN⊥平面ABCD，
在△AEF中，中線FM⊥AE，由三垂線定理知，MN⊥AE，∠FMN為二面角F-AE-C的平面角，
在Rt△FMN中，，，，，
∴二面角F-AE-C的大小為．
解法2：由（Ⅰ）知，以點A為坐標原點，以AB、AC、AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．設PA=λ，∵在Rt△PAC中，，∴，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），，D（-1，1，0），，，
則，，
設平面FAE的一個法向量為，
則由得，取．
又是平面AEC的一個法向量，設二面角F-AE-C的平面角為θ，則，
∴，∴
∴二面角F-AE-C的大小為．…（12分）
分析：（1）證明AC⊥平面PAB，根據線面線面垂直的判定定理，即證明AC⊥AB，PA⊥AC，
（2）解法1：分別取AC中點N和AE中點M，連接FN，FM和MN，可證∠FMN為二面角F-AE-C的平面角，在Rt△FMN中，即可求二面角F-AE-C的大小；
解法2：建立空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，求出平面PCD的一個法向量與平面ABCD的一個法向量，利用，確定PA的長，求出平面FAE的一個法向量，利用AP是平面AEC的一個法向量，即可求得二面角F-AE-C的大小．
點評：本題考查線面垂直、面面角，解題的關鍵是利用線面垂直的判定定理，掌握面面角的求法，傳統方法與向量方法一起運用，注意細細體會．