Question

設a，b∈R，關于x的方程（x²-ax+1）（x²-bx+1）=0的四個實根構成以q為公比的等比數列，若q∈[

1

3

，2]，則ab的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：利用等比數列的性質確定方程的根，由韋達定理表示出ab，再利用換元法轉化為二次函數，根據Q的范圍和二次函數的性質，確定ab的最值即可求出ab的取值范圍．

解答： 解：設方程（x²-ax+1）（x²-bx+1）=0的4個實數根依次為m，mq，mq²，mq³，
由等比數列性質，不妨設m，mq³為x²-ax+1=0的兩個實數根，則mq，mq²為方程x²-bx+1=0的兩個根，
由韋達定理得，m²q³=1，m+mq³=a，mq+mq²=b，則m2=

1

q3

故ab=（m+mq³）（mq+mq²）=m²（1+q³）（q+q²）
=

1

q3

（1+q³）（q+q²）=q+

1

q

+q2+

1

q2

，
設t=q+

1

q

，則q2+

1

q2

=t²-2，
因為q∈[

1

3

，2]，且t=q+

1

q

在[

1

3

，1]上遞減，在（1，2]上遞增，
所以t∈[2，

10

3

]，
則ab=t²+t-2=(t+

1

2

)2-

9

4

，
所以當t=2時，ab取到最小值是4，
當t=

10

3

時，ab取到最大值是

112

9

，
所以ab的取值范圍是：[4，

112

9

]．

點評：本題考查等比數列的性質，韋達定理，以及利用換元法轉化為二次函數，考查學生分析解決問題的能力，正確轉化是解題的關鍵．