Question

如圖，已知P為拋物線y²=4x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)Q在直線AB上，且滿足|

PA

|•|

QB

|=|

QA

|•|

PB

|，求證：點(diǎn)Q總在某定直線上．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：證明題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，過A作AK準(zhǔn)線于K，作BL垂直準(zhǔn)線于L．設(shè)直線AB與拋物線的準(zhǔn)線交于Q'，運(yùn)用拋物線的定義，以及平行線分線段成比例的性質(zhì)，結(jié)合條件證明Q與Q'重合即可．

解答： 證明：拋物線y²=4x的焦點(diǎn)P（1，0），準(zhǔn)線為x=-1，
過A作AK準(zhǔn)線于K，作BL垂直準(zhǔn)線于L．
設(shè)直線AB與拋物線的準(zhǔn)線交于Q'，
則由拋物線的定義，可得，
|

PA

|=|

AK

|，|

PB

|=|

BL

|，
在三角形AKQ'中，由平行線分線段成比例，可得，

| Q′B |

| Q′A |

=

| PB |

| PA |

，
由于|

PA

|•|

QB

|=|

QA

|•|

PB

|，
即為

| QB |

| QA |

=

| PB |

| PA |

，即有

| QB |

| QA |

=

| Q′B |

| Q′A |

，
即Q與Q'重合，則Q總在定直線x=-1上．

點(diǎn)評：本題考查拋物線的方程、定義和性質(zhì)，考查平行線分線段成比例的性質(zhì)，屬于中檔題．