Question

已知函數f(x)=sin2x-(

2

3

)|x|+

1

2

，給出下列結論：
①f（x）是偶函數；              
②f（x）的最小值為-

1

2

；
③f（x）的最大值為

3

2

；          
④當x＞2015時，f（x）＞

1

2

恒成立．
其中正確結論的序號是

 

．（寫出所有正確結論的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數的性質及應用

分析：分別根據函數的奇偶性和單調性進行判斷即可．

解答： 解：①函數的定義域為為R，
則f（-x）=sin²x-（

2

3

）^|-x|+

1

2

=sin²x-（

2

3

）^|x|+

1

2

=f（x），
則函數f（x）是偶函數；故①正確，
②當x=kπ，k∈Z時，sinx=0，即sin²x的最小值為0，
∵（

2

3

）^|x|∈（0，1]，
∴-（

2

3

）^|x|∈[-1，0），當且僅當x=0時，取最小值，
∴當x=0時，函數f（x）的最小值為0-1+

1

2

=-

1

2

；故②正確，
③∵-（

2

3

）^|x|∈[-1，0），∴-（

2

3

）^|x|無最大值，
則f（x）的為最大值，故③錯誤；          
④取特殊值當x=1000π時，x＞2015，sin²1000π=0，且（

2

3

）^1000π＞0
∴f（1000π）=

1

2

-（

2

3

）^1000π＜

1

2

，因此結論④錯．
故答案為：①②

點評：本題主要考查函數奇偶性的判斷及借助不等式知識對函數值域范圍進行判斷，涉及到函數奇偶性的判斷，同時還涉及到三角函數、指數函數的范圍問題，利用不等式的放縮求新函數的范圍．綜合性強