Question

【題目】已知數列是無窮數列，其前n項，，中的最大項記為，第n項之后的所有項，，，中的最小項記為數列滿足．

（1）若，求的通項公式；

（2）若，，求數列的通項公式

（3）判斷命題“是常數列的充分不必要條件是為遞增的等差數列”的真假，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）根據通項的二次函數性，可知當時，單調遞增且，從而得到，整理可得結果；

（2）由可求得，繼續代入，求得，以此類推可求得結果；

（3）若是遞增的等差數列，可知，充分性得證；若是常數列，存在為常數列的情況，必要性不成立，從而可知原命題為真.

（1）由，可得：，當時單調遞增

則

（2），，可得： ，即，

，，

（3）命題“是常數列的充分不必要條件是為遞增的等差數列”為真命題

理由如下：

若是遞增的等差數列，設公差為

則，

即有是常數列 充分條件成立

若是常數列，可設為常數

若可得：，即有為常數列，是不單調數列 必要條件不成立

綜上可得：是常數列的充分不必要條件是為遞增的等差數列