Question

設函數y=f（x），x∈R，x≠0
（1）若a＞0且a≠1，f（log_ax）=x-

1

x

，求f（x）的解析式，并判斷f（x）的奇偶性．
（2）若f（x）=x-

1

x

，判斷函數f（x）在區間（0，+∞）上的單調性并加以證明．

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合

專題：函數的性質及應用

分析：（1）利用換元法即可求f（x）的解析式，根據函數奇偶性的定義即可并判斷f（x）的奇偶性．
（2）利用函數單調性的定義即可證明函數f（x）在區間（0，+∞）上的單調性．

解答： 解：設t=log_ax，則x=a^t，t∈R，
則函數等價為y=f（t）=a^t-

1

at

=a^t-a^-t，
∴f（x）=a^x-a^-x，
則f（-x）=a^-x-a^x=-（a^x-a^-x）=-f（x），
即f（x）是奇函數．
（2）函數f（x）在區間（0，+∞）單調遞增；
證明：設0＜x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=x₂-

1

x2

-x₁+

1

x1

-x₁=（x₂-x₁）-

x1-x2

x1x2

=（x₂-x₁）

x1x2+1

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0，
則f（x₂）＞f（x₁）．
故函數在（0，+∞）單調增．

點評：本題主要考查函數奇偶性，單調性的判斷和證明，綜合考查函數的性質．