Question

【題目】在等比數(shù)列{an}中，a1=2，a3 ， a2+a4 ， a5成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
（2）若數(shù)列{bn}滿(mǎn)足b1+ +…+ =an（n∈N*），{bn}的前n項(xiàng)和為Sn ， 求使Sn﹣nan+6≥0成立的正整數(shù)n的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵等比數(shù)列{an}中，a1=2，a3，a2+a4，a5成等差數(shù)列．

∴2（a2+a4）=a3+a5，

即2（a2+a4）=q（a2+a4），

∴q=2，

則an=a1qn﹣1=2×2n﹣1=2n，

即 ；

（2）解∵數(shù)列{bn}滿(mǎn)足b1+ ，

∴b1+ +…+ + =an+1，

兩式相減得 =an+1﹣an=2n+1﹣2n=2n，

則bn+1=（n+1）2n，即bn=n2n﹣1，n≥2，

當(dāng)n=1時(shí)，b1=a1=2，不滿(mǎn)足bn=n2n﹣1，n≥2．

即bn= ．

當(dāng)n=1時(shí)，不等式等價(jià)為S1﹣a1+6=6≥0成立，

當(dāng)n≥2時(shí)，

Sn=2+221+322+423+…+n2n﹣1，①

則2Sn=4+222+323+424+…+n2n，②

②﹣①，得Sn=2+221﹣22﹣23﹣24﹣…﹣2n﹣1+n2n=6﹣ +n2n=6+n2n=6+4﹣2n+1+n2n=10+（n﹣2）2n，

則當(dāng)n≥2時(shí)，不等式Sn﹣nan+6≥0等價(jià)為10+（n﹣2）2n﹣n2n+6≥0，

即16﹣22n≥0，則2n≤8，得n≤3，

則n的最大值是3．

【解析】（1）根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．（2）利用方程法求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求出{bn}的前n項(xiàng)和公式，解不等式即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系．