Question

【題目】已知定義域為[0，e]的函數f（x）同時滿足： ①對于任意的x∈[0，e]，總有f（x）≥0；
②f（e）=e；
③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤e，則恒有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）．
（1）求f（0）的值；
（2）證明：不等式f（x）≤e對任意x∈[0，e]恒成立；
（3）若對于任意x∈[0，e]，總有4f2（x）﹣4（2e﹣a）f（x）+4e2﹣4ea+1≥0，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x1=0，x2=0，得f（0）≤0，

又對于任意的x∈[0，e]，總有f（x）≥0，

∴f（0）=0，

（2）解：證明：設0≤x1≤x2≤e，則x2﹣x1∈（0，e]

∴f（x2）﹣f（x1）=f（（x2﹣x1）+x1）﹣f（x1）≥f（x2﹣x1）+f（x1）﹣f（x1）=f（x2﹣x1）≥0，

∴f（x2）≥f（x1），

∴f（x）在[0，e]上是單調遞增的，

∴f（x）≤f（e）=e，

（3）解：∵f（x）在[0，e]上是增函數，

∴f（x）∈[0，e]，

∵4f2（x）﹣4（2e﹣a）f（x）+4e2﹣4ea+1≥0，

∴4f2（x）﹣8ef（x）+4e2+1≥4a[e﹣f（x）]，

當f（x）≠e時，

a≤ ，

令y= = =e﹣f（x）+ ≥e，當且f（x）=e﹣ 時取等號，

∴a≤e，

當f（x）=e時，4f2（x）﹣4（2e﹣a）f（x）+4e2﹣4ea+1=4e2﹣4（2e﹣a）e+4e2﹣4ea+1=1≥0恒成立，

綜上所述a≤e．

【解析】（1）令x1=0，x2=0代入即可得到答案，（2）用定義確定函數f（x）在[0，e]上是單調遞增的，求出函數的最值即可，（3）先根據函數f（x）的單調性確定函數f（x）的取值范圍，再分離參數的方法將a表示出來用基本不等式求出a的范圍．