Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數在定義域內的極值點的個數；

（2）若函數在處取得極值，對任意的恒成立，，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出原函數的導函數，然后對 分類討論導函數的符號，在 時由導函數在不同區間內的符號得到原函數的單調性，從而求得函數的極值點；
（Ⅱ）由函數 在 處取得極值求得，代入函數解析式，進一步代入 ，分離參數后構造函數，利用導數求其最小值后得答案．

試題解析：

（1）.

當時，在上恒成立，函數在單調遞減，所以在上沒有極值點；

當時，由得，由得

所以在上遞減，在遞增，即在處有極小值.

綜上：當時，在上沒有極值點；

當時，在上有一個極值點.

（2）因為函數在處取得極值，所以.

因為，令，可得在上遞減，在上遞增.

∴ ∴.