Question

點M（m，4）m＞0為拋物線x²=2py（p＞0）上一點，F為其焦點，已知|FM|=5，
（1）求m與p的值；
（2）以M點為切點作拋物線的切線，交y軸與點N，求△FMN的面積．

Answer 1

（1）∵點M（m，4）m＞0為拋物線x²=2py（p＞0）上一點，F為其焦點，已知|FM|=5，
∴拋物線定義可知，|FM|=

p

2

+4=5，
∴p=2，
∴拋物線的方程為x²=4y，
又∵M（m，4）在拋物線上，
∴m²=4×4，
∴m=4，
故p=2，m=4；
（2）由（1）可知，M（4，4），
由題意可知，切線的斜率k必定存在，
∴設過M點的切線方程為，y-4=k（x-4），
聯立方程組可得，

x2=4y y-4=k(x-4)

，
消去y可得，x²-4kx+16k-16=0，
∵直線為拋物線的切線，則直線與拋物線只有一個交點，
∴x²-4kx+16k-16=0只有一個根，
∴△=16k²-64（k-1）=0，
∴k=2，
∴切線方程為y=2x-4，
∴切線與y軸的交點為N（0，-4），且拋物線的焦點為F（0，1），
∴S△FMN=

1

2

|FN|•m=

1

2

×5×4=10，
故△FMN的面積為10．