Question

【題目】已知函數f（x）=（x﹣1）2﹣ ．
（Ⅰ）求函數的單調區間；
（Ⅱ）若函數f（x）有兩個零點x1 ， x2 ， 證明x1+x2＞2．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ，

f'（x）=0x=1，當x∈（﹣∞，1）時，f'（x）＜0；當x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0．

所以函數f（x）在（﹣∞，1）上單調遞增

（Ⅱ）證明： ，f（0）=1，不妨設x1＜x2，

又由（Ⅰ）可知0＜x1＜1，x2＞1.2﹣x2＜1，

又函數f（x）在（﹣∞，1）上單調遞減，

所以x1+x2＞2x1＞2﹣x2等價于f（x1）＜f（2﹣x2），

即0=f（x1）＜f（2﹣x2）．

又 ，而 ，

所以

設g（x）=xe2﹣x﹣（2﹣x）ex，則g'（x）=（1﹣x）（e2﹣x﹣ex）

當x∈（1，+∞）時g'（x）＞0，而g（1）=0，故當x＞1時，g（x）＞0．

而 恒成立，

所以當x＞1時， ，

故x1+x2＞2．

【解析】（Ⅰ）利用導函數在指定區間上的正負得到其增減性。（Ⅱ）由（Ⅰ）的結論得到x1＞2﹣x2 即得于f（x1）＜f（2﹣x2）求出 f ( 2 x 2 )的表達式，構造函數g（x）求導根據導函數的正負得出函數的最值，轉化求解即可。
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．