Question

【題目】如下圖，在四棱錐中，面，，，，，，，為的中點。

（1）求證：面；

（2）線段上是否存在一點，滿足？若存在，試求出二面角的余弦值；若不存在，說明理由。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）存在點，滿足,二面角的余弦值為。

【解析】

試題分析：（1）要證平面，只要在平面內(nèi)找到一條直線與平行即可，取的中點,構(gòu)造平行四邊形即可證明；（2）以分別為軸建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，假設(shè)上存在一點使，利用空間向量知識可得到在上存在點滿足條件，平面的一個法向量為，再求出平面的法向量，即可求二面角的余弦值。

試題解析：（1）取的中點，連和，過點作，垂足為

∵，，∴，又

∴四邊形為平行四邊形，

∴，在直角三角形中，

∴，而分別為的中點，

∴且，又

∴且，四邊形為平行四邊形，

∴

平面，平面，∴平面。

（2）由題意可得，兩兩互相垂直，如圖，以分別為軸建立空間直角坐標系，

則，假設(shè)上存在一點使，設(shè)坐標為，

則，由，得，

又平面的一個法向量為

設(shè)平面的法向量為

又，，

由，得，即

不妨設(shè)，有

則

又由法向量方向知，該二面角為銳二面角，

故二面角的余弦值為。