Question

【題目】給定無窮數列，若無窮數列滿足：對任意的，都有，則稱與“比較接近”.

（1）設是首項為1，公比為的等比數列，，判斷數列是否與“比較接近”；

（2）設數列的前四項為：，是一個與比較接近的數列，記集合，求中元素的個數；

（3）已知是公差為的等差數列，若存在數列滿足：與較接近，且在中至少有1009個為正，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）接近；

（2）3或4；

（3）

【解析】

（1）運用等比數列的通項公式和新定義“接近”，即可判斷；
（2）由新定義可得，求得的范圍，即可得到所求中元素的個數；
（3）運用等差數列的通項公式可得，討論公差的范圍，結合新定義“接近”，分別取滿足題意的數列，再進行推理和運算，即可得到所求的范圍．

（1）數列與“比較接近”，理由如下：

因為是首項為1，公比為的等比數列，所以，

又因為，所以，

所以，

所以數列與“比較接近”.

（2）因為是一個與比較接近的數列，所以，即，

因為數列的前四項為：，所以，，，，

所以在中與可能相等，與可能相等，但與不可能相等，與不可能相等，

所以集合，中元素的個數是3個或4個，

所以或；

（3）因為是公差為的等差數列，所以，

①若，取，數列滿足：與較接近，且，

則中有2018個正數，滿足題意；

②若，取，得，數列滿足：與較接近，

，

則中有2018個正數，滿足題意；

③若，取，且 ，數列滿足：與較接近，

則，所以，

則中恰有1009個正數，滿足題意；

④若，若存在數列滿足：與較接近，即為，

可得，

則中無正數，不符合題意。

綜上可得：的取值范圍是.