Question

【題目】山東省2020年高考將實施新的高考改革方案.考生的高考總成績將由3門統一高考科目成績和自主選擇的3門普通高中學業水平等級考試科目成績組成，總分為750分.其中，統一高考科目為語文、數學、外語，自主選擇的3門普通高中學業水平等級考試科目是從物理、化學、生物、歷史、政治、地理6科中選擇3門作為選考科目，語、數、外三科各占150分，選考科目成績采用“賦分制”，即原始分數不直接用，而是按照學生分數在本科目考試的排名來劃分等級并以此打分得到最后得分.根據高考綜合改革方案，將每門等級考試科目中考生的原始成績從高到低分為、、、、、、、共8個等級。參照正態分布原則，確定各等級人數所占比例分別為、、、、、、、.等級考試科目成績計入考生總成績時，將至等級內的考生原始成績，依照等比例轉換法則，分別轉換到91-100、81-90、71-80，61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八個分數區間，得到考生的等級成績.

舉例說明.

某同學化學學科原始分為65分，該學科等級的原始分分布區間為58～69，則該同學化學學科的原始成績屬等級.而等級的轉換分區間為61～70，那么該同學化學學科的轉換分為：

設該同學化學科的轉換等級分為，，求得.

四舍五入后該同學化學學科賦分成績為67.

（1）某校高一年級共2000人，為給高一學生合理選科提供依據，對六個選考科目進行測試，其中物理考試原始成績基本服從正態分布.

（i）若小明同學在這次考試中物理原始分為84分，等級為，其所在原始分分布區間為82～93，求小明轉換后的物理成績；

（ii）求物理原始分在區間的人數；

（2）按高考改革方案，若從全省考生中隨機抽取4人，記表示這4人中等級成績在區間的人數，求的分布列和數學期望.

（附：若隨機變量，則，，）

Answer 1

【答案】(1)（i）83.;（ii）272.(2)見解析.

【解析】

（1）根據原始分數分布區間及轉換分區間，結合所給示例，即可求得小明轉換后的物理成績；根據正態分布滿足，結合正態分布的對稱性即可求得內的概率，根據總人數即可求得在該區間的人數。

（2）根據各等級人數所占比例可知在區間內的概率為，由二項分布即可求得的分布列及各情況下的概率，結合數學期望的公式即可求解。

（1）（i）設小明轉換后的物理等級分為，

，

求得.

小明轉換后的物理成績為83分；

（ii）因為物理考試原始分基本服從正態分布，

所以

.

所以物理原始分在區間的人數為（人）；

（2）由題意得，隨機抽取1人，其等級成績在區間內的概率為，

隨機抽取4人，則.

，，

，，

.

的分布列為

	0	1	2	3	4

數學期望.