Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）若，試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）的增區(qū)間為，減區(qū)間為；函數(shù)在處取的極小值，無(wú)極大值；（2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由確定增區(qū)間，確定減區(qū)間，得極值；

（2）求出導(dǎo)函數(shù)，分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，根據(jù)零點(diǎn)存在定理得零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

（1）根據(jù)，

令，解得，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：

x		-1
	<0	0	>0
	遞減		遞增

∴函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；

函數(shù)在處取的極小值，無(wú)極大值.

（2）由，則，

當(dāng)時(shí)，，易知函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，在上，單調(diào)遞減；在上，單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，在和上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減.又，

且當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)