Question

設橢圓

x2

4

+y²=1的左、右焦點分別為F₁，F₂，M為橢圓上異于長軸端點的一點，∠F₁MF₂=2θ，△MF₁F₂的內心為I，
則|MI|cosθ=

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：運用橢圓的定義和圓的切線的性質及內心的定義，結合解直角三角形的知識，即可求得．

解答： 解：設△MF₁F₂的內切圓與△MF₁F₂相切于D，E，F，
設MD=u，DF₁=v，FF₂=t，
則MD=MF=u，DF₁=EF₁=v，EF₂=FF₂=t，
由橢圓的定義，可得，MF₁+MF₂=2a=4，F₁F₂=2c=2

3

，
即有2u+v+t=4，v+t=2

3

，即有2u=4-2

3

，
即u=2-

3

，
再由|MI|cosθ=MF=u=2-

3

．
故答案為：2-

3

．

點評：本題考查橢圓的方程和定義，考查切線的性質和內心的定義，以及解直角三角形的知識，屬于中檔題．