Question

【題目】已知拋物線E：y2=2px（p＞0）的準線與x軸交于點K，過點K作圓（x﹣5）2+y2=9的兩條切線，切點為M，N，|MN|=3
（1）求拋物線E的方程；
（2）設A，B是拋物線E上分別位于x軸兩側的兩個動點，且 （其中O為坐標原點）．
①求證：直線AB必過定點，并求出該定點Q的坐標；
②過點Q作AB的垂線與拋物線交于G，D兩點，求四邊形AGBD面積的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可得K（﹣ ，0），圓C：（x﹣5）2+y2=9的圓心C（5，0），半徑r=3．

設MN與x軸交于R，由圓的對稱性可得|MR|=

于是|CR|= ，

即有|CK|= =6，

即有5+ =6，解得p=2，則拋物線E的方程為y2=4x

（2）證明①：設直線AB：x=my+t，A（ ，y1），B（ ，y2），

聯立拋物線方程可得y2﹣4my﹣4t=0，

y1+y2=4m，y1y2=﹣4t，

，即有 +y1y2= ，

解得y1y2=﹣18或2（舍去），

即﹣4t=﹣18，解得t= ．

則有AB恒過定點Q（ ，0）；

②解：由①可得|AB|= |y2﹣y1|= ，

同理|GD|= ，

則四邊形AGBD面積S= |AB||GD|=4 ，

令m2+ =μ（μ≥2），則S=4 是關于μ的增函數，

則當μ=2時，S取得最小值，且為88．

當且僅當m=±1時，四邊形AGBD面積的最小值為88

【解析】（1）求得K的坐標，圓的圓心和半徑，運用對稱性可得MR的長，由勾股定理和銳角的三角函數，可得CK=6，再由點到直線的距離公式即可求得p=2，進而得到拋物線方程；（2）①設出直線方程，聯立拋物線方程，運用韋達定理和向量的數量積的坐標表示，化簡整理，即可得到定點Q；
②運用弦長公式和四邊形的面積公式，換元整理，結合基本不等式，即可求得最小值．