Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c和一次函數g（x）=-bx，其中a，b，c滿足a＞b＞c，a+b+c=0（a，b，c∈R）．
（1）求證：兩函數圖象交于不同的兩點A、B．
（2）求證：方程f（x）-g（x）=0的兩根均小于2．
（3）求線段AB在x軸上的射影A₁B₁的長的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數的性質,一元二次方程的根的分布與系數的關系

專題：函數的性質及應用

分析：（1）先根據條件得到a＞0，c＜0，由方程組

y=ax2+bx+c y=-bx

可得，ax²+2bx+c=0  ①，求出該方程的判別式并容易判斷△＞0，所以該方程有兩個不同實根，也就得到兩函數圖象有兩個不同交點；
（2）設h（x）=f（x）-g（x），則知道h（x）圖象為拋物線，并開口向上，能夠求出h（x）的對稱軸在x=2的左邊，并且h（2）＞0，所以便得到方程f（x）-g（x）=0的兩根均小于2；
（3）設方程①的兩根為x₁，x₂，根據韋達定理可得x1+x2=

2a+2c

a

，x1x2=

c

a

，所以得到|A₁B₁|=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=2

( c a + 1 2 )2+ 3 4

，而

c

a

的范圍可由a＞-a-c＞c求出，然后根據二次函數的單調性或圖象即可得到|A₁B₁|的范圍．

解答： 解：（1）證明：由已知條件知，a＞0，c＜0，聯立方程組得ax²+2bx+c=0  ①；
∴△=4b²-4ac＞0；
∴方程①有兩個不同實數根；
即兩函數圖象交于不同的兩點A，B；
（2）證明：設h（x）=f（x）-g（x）=ax²+2bx+c；
∵a+b+c=0；
∴b=-a-c
∴函數h（x）的對稱軸為-

b

a

=

a+c

a

=1+

c

a

＜1＜2；
又h（2）=4a+4b+c=4a-4（a+c）+c=-3c＞0；
∴h（x）=0的兩實數根均小于2；
即f（x）-g（x）=0的兩根均小于2；
（3）設方程ax²+2bx+c=0的兩根為x₁，x₂，則：
x1+x2=-

2b

a

=

2a+2c

a

，x1•x2=

c

a

；
∴|A₁B₁|=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

( 2a+2c a )2- 4c a

=2

( c a )2+ c a +1

=2

( c a + 1 2 )2+ 3 4

；
∵a＞-a-c＞c；
-2＜

c

a

＜-

1

2

；
∴

3

4

＜(

c

a

+

1

2

)2+

3

4

＜3；

3

＜|A1B1|＜2

3

；
∴線段AB在x軸上的射影A₁B₁的長的取值范圍為（

3

，2

3

）．

點評：考查一元二次方程解的情況和判別式△的關系，韋達定理，以及完全平方式，以及根據二次函數的單調性求二次函數的值域．