Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點為F₁，F(xiàn)₂，其中一條漸近線方程為y=

b

2

x(b∈N*)，P為雙曲線上一點，且滿足|OP|＜5（其中O為坐標原點），若|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|成等比數(shù)列，則雙曲線C的方程為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的標準方程

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由已知條件推導出|PF₁|²+|PF₂|²-8c²=16，由余弦定理得|PF₂|²+|PF₁|²=2c²+2|OP|²，由此求出b²=1，由一條漸近線方程為y=

b

2

x，求得a=2，由此能求出雙曲線方程．

解答： 解：∵|F₁F₂|²=|PF₁|•|PF₂|，
∴4c²=|PF₁|•|PF₂|，
∵|PF₁|-|PF₂|=4，
∴|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|=16，
即：|PF₁|²+|PF₂|²-8c²=16，①
設：∠POF₁=θ，則：∠POF₂=π-θ，
由余弦定理得：|PF₂|²=c²+|OP|²-2|OF₂|•|OP|•cos（π-θ），
|PF₁|²=c²+|OP|²-2|OF₁||OP|•cosθ
整理得：|PF₂|²+|PF₁|²=2c²+2|OP|²②
由①②化簡得：|OP|²=8+3c²=20+3b²
∵OP＜5，∴20+3b²＜25，∵b∈N，∴b²=1．
∵一條漸近線方程為y=

b

2

x（b∈N^*），
∴

b

a

=

1

2

，∴a=2，
∴

x2

4

-y2=1．
故答案為：

x2

4

-y2=1．

點評：本題考查雙曲線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意余弦定理的合理運用．