Question

已知復數z=a+bi（a、b∈R），若存在實數t使a-bi=

2+4i

t

-3ati成立．
（1）求證：2a+b為定值；
（2）若|z-2|＜a，求|z|的取值范圍．

Answer 1

考點：復數代數形式的乘除運算

專題：數系的擴充和復數

分析：（1）由條件利用兩個復數代數形式的乘除法，兩個復數相等的充要條件，求得2a+b=6，從而證得結論．
（2）由|z-2|＜a，可得0＜a＜2，或a＞5；再根據|z|=

5a2-24a+36

，利用二次函數的性質求得|z|的范圍．

解答： 解：（1）證明：∵復數z=a+bi（a、b∈R），若存在實數t使a-bi=

2+4i

t

-3ati成立，
則ta-tbi=2+（4-3at²）i，可得ta=2，-tb=4-3at²，∴-b•

2

a

=4-3a•

4

a2

，即-2b=4a-12，
化簡可得2a+b=6，即2a+b為定值．
（2）若|z-2|＜a，則

(a-2)2+b2

＜a，∴a＞0，且

(a-2)2+(6-2a)2

＞a．
化簡可得（a-2）（a-5）＞0，求得0＜a＜2，或a＞5．
而|z|=

a2+b2

=

a2+(6-2a)2

=

5a2-24a+36

，
當0＜a＜2 時，|z|∈（2

2

，6）；當a＞5 時，|z|＞

41

．
綜上可得，|z|的取值范圍為（2

2

，6）∪（

41

，+∞）．

點評：本題主要考查兩個復數代數形式的乘除法，兩個復數相等的充要條件，二次函數的性質，屬于基礎題．