Question

如圖，橢圓C：

y2

a2

+

x2

2

=1（a＞

2

）的離心率

2

2

，其兩焦點分別為F₁、F₂，P是橢圓在第一象限弧上一點，并滿足

PF1

•

PF2

=1，過P作傾斜角互補的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求P點坐標；
（3）當直線PB的斜率為

2

2

時，求直線AB的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）根據橢圓C：

y2

a2

+

x2

2

=1（a＞

2

）的離心率

2

2

，可得a²=4，可得橢圓C的方程；
（2）設出P的坐標，則可分別表示出

PF1

和

PF2

，進而利用

PF1

•

PF2

=1求得x₀和y₀的關系，同時根據橢圓的方程，求得x₀和y₀即P的坐標．
（3）當直線PB的斜率為

2

2

時，直線PA的斜率為-

2

2

，設出直線的方程聯立橢圓方程，可求出A點，B點的坐標，進而由兩點式可得直線AB的方程．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

y2

a2

+

x2

2

=1（a＞

2

）的離心率

2

2

，
∴e²=

c2

a2

=

a2-2

a2

=

1

2

，
解得：a²=4，
∴橢圓C的標準方程為：

y2

4

+

x2

2

=1；
（2）由（1）得：c=

2

，則F₁（0，

2

），F₂（0，-

2

），設P（x₀，y₀）
則

PF1

=（-x₀，

2

-y₀），

PF2

=（-x₀，-

2

-y₀），
由

PF1

•

PF2

=1得：x₀²-2+y₀²=1?x₀²+y₀²=3
又2x₀²+y₀²=4，x₀，y₀＞0，
∴

x0=1 y0= 2

，即所求P（1，

2

）
（3）當直線PB的斜率為

2

2

時，直線PA的斜率為-

2

2

，
直線PB的方程為：y-

2

=

2

2

（x-1），即y=

2

2

x+

2

2

，
代入橢圓C的標準方程為：

y2

4

+

x2

2

=1得：5x²+2x-7=0，
由韋達定理得：B點橫坐標為：-

7

5

，代入y=

2

2

x+

2

2

得：B點縱坐標為：-

2

5

，
即B點的坐標為：（-

7

5

，-

2

5

），
同理可得A點的坐標為：（

1

5

，

2 2

5

），
則直線AB的兩點式方程為

x+ 7 5

1 5 + 7 5

=

y+ 2 5

2 2 5 + 2 5

，
即：15x-20

2

y+13=0．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關系．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．