Question

【題目】如圖，三棱錐P﹣ABC中，PA=PC，底面ABC為正三角形．

（Ⅰ）證明：AC⊥PB；
（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABC，AC=PC=2，求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：如圖，

取AC中點O，連接PO，BO，

∵PA=PC，∴PO⊥AC，

又∵底面ABC為正三角形，∴BO⊥AC，

∵PO∩OB=O，∴AC⊥平面POB，則AC⊥PB；

（Ⅱ）解：∵平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC=AC，

PO⊥AC，∴PO⊥平面ABC，

以O為原點，分別以OA、OB、OP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，

∵AC=PC=2，∴P（0，0， ），B（0， ，0），C（﹣1，0，0）， ，

，

設平面PBC的一個法向量為 ，

由 ，取y=﹣1，得 ，

又 是平面PAC的一個法向量，

∴cos＜ ＞= ．

∴二面角A﹣PC﹣B的余弦值為 ．

【解析】（1）取AC中點O，連接PO，BO，根據等腰三角形三線合一得出PO⊥AC，再由ABC為正三角形BO⊥AC，從而得到AC⊥平面POB，則AC⊥PB，（2）以O為原點，分別以OA、OB、OP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，用法向量法求出二面角的余弦值.
【考點精析】掌握空間中直線與直線之間的位置關系是解答本題的根本，需要知道相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點．