【題目】已知函數
，
，其中
，（
）.
（1）若函數
有極值
，求
的值；
（2）若函數
在區間
上為減函數，求的取值范圍；
（3）證明：
.
【答案】（1）
（2）
（3）見解析
【解析】
試題分析：（1）先對函數
求導，再對
的取值范圍討論來判斷函數在
上的單調性，進而可得函數在上的極值，利用函數
有極值1，即可得的值；（2）由已知得：
在
上恒成立，進而可得
在上恒成立，設
，對函數
求導，再判斷函數在
上的單調性，進而可得函數在上的取值范圍，即可得的取值范圍；（3）由（2）可得
，進而可得
，代入，化簡，即可證
.
試題解析：（1）解：∵
，
∴
1分
①若
，則對任意的
都有
，即函數
在
上單調遞減
函數在上無極值 2分
②若
，由
得
當
時，當
時，
即函數在
單調遞減，在
單調遞增
∴函數在處有極小值
∴
∴4分
（2）解法1：∵函數
=
在區間上為減函數且當
時，
∴在上恒成立
在上恒成立 5分
設，則
7分
當
時，
，
所以
在上恒成立，即函數
在上單調遞減 8分
∴當時，
∴9分
[解法2：∵函數=在區間上為減函數
∴對
，（
）恒成立 5分
∵
∴
當時，（）式顯然成立 6分
當時，（）式
在上恒成立
設
，易知
在上單調遞增 7分
∴
∴
8分
綜上得
9分]
（3）證法1：由（2）知，當時，
10分
∵對任意的
有
∴
∴12分
∴
即14分
[證法2：先證明當
時，
令
,則
對任意的
恒成立 10分
∴函數
在區間
上單調遞減
∴當時，
11分
∵對任意的，
而
12分
∴
14分]
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【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
,點
也為拋物線
的焦點.(1)若
為橢圓
上兩點,且線段
的中點為
,求直線的斜率；
(2)若過橢圓的右焦點作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于
和
,設線段
的長分別為
,證明
是定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】將圓
上每一點的橫坐標變為原來的2倍，縱坐標變為原來的4倍，得曲線
.
（1）寫出的參數方程；
（2）設直線
與的交點為
，以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，求過線段
的中點與
垂直的直線的極坐標方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
（
）與拋物線
（
）共交點
，拋物線上的點
到
軸的距離等于
，且橢圓與拋物線的交點
滿足
.
（1）求拋物線的方程和橢圓的方程；
（2）國拋物線上的點
做拋物線的切線
交橢圓于
兩點，設線段
的中點為
，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司計劃在迎春節聯歡會中設一項抽獎活動：在一個不透明的口袋中裝入外形一樣號
碼分別為1，2，3，…，10的十個小球。活動者一次從中摸出三個小球，三球號碼有且僅有兩個連號的為三等獎，獎金30元；三球號碼都連號為二等獎，獎金60元；三球號碼分別為1，5，10為一等獎，獎金240元；其余情況無獎金。
（1）求員工甲抽獎一次所得獎金ξ的分布列與期望；
（2）員工乙幸運地先后獲得四次抽獎機會，他得獎次數
的方差是多少？
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【題目】設f（x）＝|lnx|，若函數g（x）＝f（x）-ax在區間（0，4）上有三個零點，則實數a的取值范圍是（ ）
A. （0，
）B. （
，e）C. （，）D. （0，）
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【題目】給出如下四個命題：①若“
且
”為假命題，則
均為假命題；②命題“若
，則
”的否命題為“若
，則
”； ③“
，則
”的否定是“
，則
”；④在
中，“
”是“
”的充要條件．其中正確的命題的個數是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為迎接中國共產黨的十九大的到來，某校舉辦了“祖國，你好”的詩歌朗誦比賽.該校高三年級準備從包括甲、乙、丙在內的7名學生中選派4名學生參加，要求甲、乙、丙這3名同學中至少有1人參加，且當這3名同學都參加時，甲和乙的朗誦順序不能相鄰，那么選派的4名學生不同的朗誦順序的種數為（ ）
A. 720 B. 768 C. 810 D. 816
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