Question

知a、b為實數，ab＞0，若函數f（x）=

x

a

+

1

b

sin

πx

2

+a+b-1是奇函數，則f（1）的最小值是

 

．

Answer 1

考點：基本不等式,函數奇偶性的判斷

專題：函數的性質及應用

分析：函數f（x）是奇函數，可得f（0）=0，化為a+b-1=0．再利用“乘1法”與基本不等式的性質即可得出．

解答： 解：∵函數f（x）是奇函數，
∴f（0）=0，化為a+b-1=0．
又ab＞0．
∴f（1）=

1

a

+

1

b

=（a+b）(

1

a

+

1

b

)=2+

b

a

+

a

b

≥2+2

b a • a b

=4，當且僅當a=b=

1

2

時取等號．
∴f（1）的最小值是4．
故答案為：4．

點評：本題考查了函數的奇偶性、“乘1法”與基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．