Question

某廠借嫦娥奔月的東風，推出品牌為“玉兔”的新產品，生產“玉兔”的固定成本為20000元，每生產意見“玉兔”需要增加投入100元，根據初步測算，總收益（單位：元）滿足分段函數φ（x），其中φ（x）=

400x- 1 2 x2，0＜x≤400 80000，x＞400

，x是“玉兔”的月產量（單位：件），總收益=成本+利潤
（1）試將利用y元表示為月產量x的函數；
（2）當月產量x為多少件時利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

考點：根據實際問題選擇函數類型

專題：應用題,函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）依題設總成本為20000+100x，從而由分段函數寫出y=

- 1 2 x2+300x-20000，0＜x≤400，且x∈N 60000-100x，x＞400，且x∈N

；
（Ⅱ）當＜x≤400時，y=-

1

2

（x-300）²+25000，則當x=300時，y_max=25000；當x＞400時，y＜60000-100×400=20000，從而求最值．

解答： 解：（Ⅰ）依題設，總成本為20000+100x，
則y=

- 1 2 x2+300x-20000，0＜x≤400，且x∈N 60000-100x，x＞400，且x∈N

；
（Ⅱ）當＜x≤400時，y=-

1

2

（x-300）²+25000，
則當x=300時，y_max=25000；
當x＞400時，y=60000-100x是減函數，
則y＜60000-100×400=20000，
所以，當x=300時，有最大利潤25000元．

點評：本題考查了分段函數在實際問題中的應用，屬于中檔題．