Question

已知函數f（x）=ln（3+x）+ln（3-x）．
（Ⅰ）求函數y=f（x）的定義域；
（Ⅱ）判斷函數y=f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）若f（2m-1）＜f（m），求m的取值范圍．

Answer 1

考點：指、對數不等式的解法,函數的定義域及其求法,函數奇偶性的判斷

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）由

3+x＞0 3-x＞0

，求得x的范圍，可得函數y=f（x）定義域．
（Ⅱ）由于函數y=f（x）的定義域關于原點對稱．且滿足 f（-x）=f（x），可得函數y=f（x）為偶函數．
（Ⅲ）化簡函數f（x）的解析式為lg（4-x²），結合函數的單調性可得，不等式f（m-2）＜f（m）等價于|m|＜|m-2|＜2，由此求得m的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）要使函數有意義，則

3+x＞0 3-x＞0

，解得-3＜x＜3，
故函數y=f（x）定義域為（-3，3）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，函數y=f（x）的定義域為（-3，3），關于原點對稱．
對任意x∈（-3，3），則-x∈（-3，3），
∵f（-x）=lg（3-x）+lg（3+x）=f（x），
∴由函數奇偶性可知，函數y=f（x）為偶函數．
（Ⅲ）∵函數f（x）=lg（3+x）+lg（3-x）=lg（9-x²），
由復合函數單調性判斷法則知，當0≤x＜3時，函數y=f（x）為減函數．
又函數y=f（x）為偶函數，
∴不等式f（2m-1）＜f（m），等價于|m|＜|2m-1|＜3，
解得-1＜m＜

1

3

或1＜m＜2．

點評：本題主要考查求函數的定義域，函數的奇偶性的判斷，復合函數的單調性，屬于中檔題．