Question

【題目】如圖，已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓的一個焦點為，是橢圓上一點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設橢圓的上下頂點分別為，，是橢圓上異于的任意一點，軸，為垂足，為線段的中點，直線交直線于點，為線段的中點.

①求證：；

②若的面積為，求的值；

Answer 1

【答案】（1）（2）①證明見解析；②

【解析】

(1)設橢圓方程為,由題意,得,再由是橢圓上的一個點,即可求出橢圓方程;

(2)根據題意,求出直線AB的方程、點M,C,N的坐標,計算,可得,再利用,結合橢圓方程,求解可得結果.

（1）設橢圓方程為，

由題意，得.因為，所以.

又是橢圓上的一個點，所以，

解得或(舍去)，

所以橢圓的標準方程為.

（2）①解：因為，，則，且.

因為為線段中點，所以.

又，所以直線的方程為.

因為，∴

令，得，

又，為線段的中點，有，

所以.

因此，

.

所以.

②由①知，.

因為，

所以在中，，

因此，從而有，

解得.