Question

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω是正整數(shù)，0≤ϕ≤π）是R上的偶函數(shù)，其圖象過點M（

3π

4

，0），且在區(qū)間[0，

π

2

]上是單調(diào)函數(shù)．
（1）求φ與ω的值；
（2）設(shè)a＜

π

2

＜b，若f（x）在區(qū)間[a，b]上的最大值是M，最小值是m，且M-m=

1

2

，求a，b所要滿足的條件．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由已知先求φ的值，由f（x）圖象過點M（

3π

4

，0），又f（x）在[0，

π

2

]上是單調(diào)函數(shù)，可求得ω的值；
（2）由題意可得f（x）在[a，b]上可求得必有最小值m=-1，故最大值M=-

1

2

，即可解得a，b所要滿足的條件．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω是正整數(shù)，0≤ϕ≤π）是R上的偶函數(shù)，得φ=

π

2

…（2分）
f（x）圖象過點M（

3π

4

，0）得：ω•

3π

4

+

π

2

=kπ，k∈Z，得：ω=

4k

3

-

2

3

，k∈Z…（4分）
又f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上是單調(diào)函數(shù)．ω是正整數(shù)，只有k取2，此時ω=2…（6分）
所以f（x）=sin（2x+

π

2

）=cos2x．
（2）由題意可得f（x）在區(qū)間[a，b]上必有最小值m=-1，故最大值M=-

1

2

…（8分）
于是得a，b所要滿足的條件是：

b= 2π 3 π 3 ≤a＜ π 2

或

a= π 3 π 2 ＜b＜ 2π 3

…（12分）

點評：本題主要考察了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角函數(shù)解析式的求法，屬于基礎(chǔ)題．