Question

已知點列B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），…，B_n（n，y_n），…（n∈N*）順次為直線上的點，點列A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），…，A_n（x_n，0），…（n∈N*）順次為x軸上的點，其中x₁=a（0＜a＜1），對任意的n∈N*，點A_n、B_n、A_n+1構成以B_n為頂點的等腰三角形．
（Ⅰ）求證：對任意的n∈N*，x_n+2-x_n是常數，并求數列{x_n}的通項公式；
（Ⅱ）問是否存在等腰直角三角形A_nB_nA_n+1？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由點A_n、B_n、A_n+1構成以B_n為頂點的等腰三角形，則有|A_nB_n|=|A_n+1B_n|得到x_n+1+x_n=2n，從而有x_n+2+x_n+1=2（n+1）兩式作差求解．
（Ⅱ）假設存在等腰直角三角形A_nB_nA_n+1，．在Rt△A_nB_nA_n+1中，．由n為正奇數時，|x_n+1-x_n|=2（1-a），故有，即即0＜n＜4．n=1，3使得三角形A_nB_nA_n+1為等腰直角三角形．當n為正偶數時，|x_n+1-x_n|有，即，當n=2時，使得三角形A_nB_nA_n+1為等腰直角三角形．
解答：解：（Ⅰ）由題意得，A_n（x_n，0），A_n+1（x_n+1，0），
∵點A_n、B_n、A_n+1構成以B_n為頂點的等腰三角形，
∴|A_nB_n|=|A_n+1B_n|，即
得x_n²-2nx_n=x_n+1²-2nx_n+1⇒（x_n+1-x_n）（x_n+1+x_n）=2n（x_n+1-x_n）
又∵x_n+1≠x_n，∴x_n+1+x_n=2n，①
則x_n+2+x_n+1=2（n+1）②
由②-①得，x_n+2-x_n=2，即x_n+2-x_n是常數．（6分）
即所列{x_2k-1}，{x_2k}（k∈N^*）都是等差數列．
（注：可以直接由圖象得到，即x_n+x_n+1=2n，（n∈N^*））
當n為正奇數時，，
當n為正偶數時，由x₂+x₁=2得，x₂=2-a，故，
∴．（8分）
（Ⅱ）假設存在等腰直角三角形A_nB_nA_n+1，由題意∠A_nB_nA_n+1=90°．
在Rt△A_nB_nA_n+1中，．（10分）
當n為正奇數時，x_n=a+n-1，x_n+1=n+1-a，
∴|x_n+1-x_n|=|n+1-a-a-n+1|=|2-2a|=2（1-a），故有，即，
又∵0＜a＜1，∴0＜1-a＜1，∴，即0＜n＜4，
∴當n=1，3時，使得三角形A_nB_nA_n+1為等腰直角三角形．（12分）
當n為正偶數時，x_n=n-a，x_n+1=a+n+1-1=a+n，
∴|x_n+1-x_n|=|a+n-n+a|=|2a|=2a，故有，即，
又∵0＜a＜1，∴，即0＜n＜4，
∴當n=2時，使得三角形A_nB_nA_n+1為等腰直角三角形．（14分）
綜上所述，當n=1，2，3時，使得三角形A_nB_nA_n+1為等腰直角三角形．（16分）
點評：本題主要考查解析幾何與數列的綜合問題，涉及到求數列的通項公式，兩點間的距離公式以及分類討論，數形結合等思想．