Question

【題目】動點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)作垂直于軸，垂足為，設(shè).

（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交軌跡于兩點(diǎn)，直線的斜率分別為，求的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）1

【解析】

試題分析：（Ⅰ）考慮點(diǎn)和點(diǎn)的關(guān)系，設(shè)點(diǎn)，由可把用表示出來，再把代入已知拋物線方程即得； （Ⅱ）分析題意知直線斜率存在，設(shè)方程為，設(shè)點(diǎn)， 由直線方程與曲線方程聯(lián)立方程組，消去得的一元二次方程，則可得，當(dāng)過點(diǎn)時，不妨設(shè)，則可以看作是曲線在A點(diǎn)處切線的斜率，則可計(jì)算出，當(dāng)不過點(diǎn)時，計(jì)算，最后計(jì)算，交把代入得到關(guān)于的函數(shù)，可求得最小值．

試題解析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，則由得，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，

（Ⅱ）方法一：由已知，直線的斜率一定存在，設(shè)點(diǎn)，設(shè)方程為，

聯(lián)立得

由韋達(dá)定理得

（1）當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)即或時，當(dāng)時，直線的斜率看作拋物線在點(diǎn)處的切線斜率，則，此時；當(dāng)時，同理可得.

（2）當(dāng)直線不經(jīng)過點(diǎn)即且時，，

所以的最小值為.

方法二：同上

故，所以的最小值為

方法三：設(shè)點(diǎn)，由直線過點(diǎn)交軌跡于兩點(diǎn)得：

化簡整理得：

，令，則