Question

【題目】已知橢圓的左焦點為F，短軸的兩個端點分別為A，B，且，為等邊三角形.

（1）求橢圓C的方程；

（2）如圖，點M在橢圓C上且位于第一象限內，它關于坐標原點O的對稱點為N；過點M作x軸的垂線，垂足為H，直線與橢圓C交于另一點J，若，試求以線段為直徑的圓的方程；

（3）已知是過點A的兩條互相垂直的直線，直線與圓相交于P，Q兩點，直線與橢圓C交于另一點R，求面積最大值時，直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）由題意可得，，由，，的關系，可得的值，進而得橢圓方程；

（2）設，即有，，，運用向量的數量積的坐標表示，可得，，求出的方程，代入橢圓方程，可得的坐標，求得的中點坐標和半徑，進而可得圓的方程；

（3）設，代入橢圓方程可得，運用韋達定理和弦長公式，再由三角形的面積公式，運用配方和二次函數的最值得求法，即可得到所求直線的方程.

（1）由題意可得，即，又為等邊三角形，可得，

所以，

所以，橢圓的方程為：.

（2）設，即有，，，

由題意得，，即為，解得，

代入橢圓方程可得，，解得，即有，，

所以直線方程為：，將其代入橢圓方程得：，

由，解得點坐標為，則中點為，

所以圓的半徑為，

即以線段為直徑的圓的方程為：.

（3）設，代入橢圓方程可得，，

解得，，則，

由題意可得直線的方程為，代入圓的方程中，

由弦長公式可得，

則的面積為

令，即有，

所以

所以當，即有，此時，有最大值，

即有直線的方程為.