Question

【題目】已知非空集合是由一些函數組成，滿足如下性質：①對任意，均存在反函數，且；②對任意，方程均有解；③對任意、，若函數為定義在上的一次函數，則.

（1）若，，均在集合中，求證：函數；

（2）若函數（）在集合中，求實數的取值范圍；

（3）若集合中的函數均為定義在上的一次函數，求證：存在一個實數，使得對一切，均有.

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）；（3）見詳解；

【解析】

（1）由，根據性質①可得，且存在，使得

，由，且為一次函數，根據性質③即可證明.

（2）由性質②，方程，即在上有解，可得，

變形，.對與的關系分類討論，利用基本不等式的性質即可求解.

（3）任取，，由性質①，不妨設，

（若，則，），

由性質③函數，

由性質①：，

由性質③：

由性質②方程：，可得，即，即可得證.

（1）由，根據性質①可得，且存在，使得

，由，且為一次函數，

根據性質③可得：.

（2）由性質②，方程，即在上有解，，

由,

若，時，，且，

此時沒有反函數，即不滿足性質①.

若，時，函數在上單調遞增，此時有反函數，

即滿足性質①.

綜上：.

（3）任取，，由性質①，不妨設，

（若，則，），

由性質③函數，

由性質①：，

由性質③：

由性質②方程：，

，即，

，可得，,

，可得，,

由此可知：對于任意兩個函數，，

存在相同的滿足：，

存在一個實數，使得對一切，均有.