Question

【題目】已知函數（，是自然對數的底數）.

（1）討論的單調性；

（2）當時，，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）

【解析】

（1）求得的導函數，對分成和兩種情況，分類討論的單調區間.

（2）首先判斷.解法一：構造函數，求得的導函數，對分成，兩種情況進行分類討論，結合求得的取值范圍.解法二：當時，根據的單調性證得.當時，同解法一，證得此時不滿足.

（1），

當時，，在上單調遞減；

當時，由得，所以在上單調遞減；

由得，所以在上單調遞增.

綜上，當時，在上單調遞減；

當時，在上單調遞減，在上單調遞增.

（2）解法一：

當時，，即，

所以，

令，

則

若，則當時，，所以在上單調遞增；

當時，

，

所以當時，單調遞增，所以.

若，則，

，

由得，

所以，

所以，使得，且當時，，

所以在上單調遞減，

所以當時，，不合題意.

綜上，的取值范圍為.

解法二：

當時，，即，

所以，

若，由（1）知：在上單調遞增，

因為，所以，所以在上單調遞增，

所以當時，.

若，

令，

則

所以，

，

由得，

所以，

所以，使得，且當時，，

所以在上單調遞減，

所以當時，，不合題意.

綜上，的取值范圍為.