Question

【題目】已知函數(shù) （為常數(shù)）

（Ⅰ）若是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；

（Ⅱ）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求的最大值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 。

【解析】

（Ⅰ）由是單調(diào)函數(shù)可得在定義域上恒成立，然后轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布的問題處理即可．（Ⅱ）由題意得是方程的兩根，故得，不妨令，然后將表示為的函數(shù)，最后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可求得最大值．

（Ⅰ）∵，，

∴．

設(shè)，，

∵是定義域上的單調(diào)函數(shù)，函數(shù)的圖象為開口向上的拋物線，

∴在定義域上恒成立，即在上恒成立．

又二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，且圖象過定點(diǎn)，

∴，或，解得.

∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．

（Ⅱ）由（I）知函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)滿足，

所以，

不妨設(shè)，則在上是減函數(shù)，

∴，

∴

．

令，則，

又，即，

解得，

故，

∴．

設(shè)，

則，

∴在上為增函數(shù)．

∴，

即．

所以的最大值為．