Question

【題目】如圖所示，在直三棱柱中，，，，為線段的中點.

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）連接，設與交于點，連接，利用中位線定理得出，再利用線面平行的判定定理可得出結論；

（Ⅱ）以為坐標原點，分別以射線、、的方向為、、軸的正方向建立空間直角坐標系，利用空間向量法以及同角三角函數的基本關系可求得二面角的正弦值.

（Ⅰ）連接，設與交于點，連接，

由題可知四邊形為矩形，所以點為的中點.

又因為是的中點，所以.

因為平面，平面，所以平面；

（Ⅱ）由題可知，，所以.

又因為平面，所以可以為坐標原點，分別以射線、、的方向為、、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系.

則，，，.

所以，，，.

設平面的一個法向量為.

則，令，可得.

同理可得平面的一個法向量為.

所以，

設二面角的大小為，則.

因此，二面角的正弦值為.