Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分別是CD和PC的中點，求證：

（1）PA⊥底面ABCD;

（2）平面BEF⊥平面PCD.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）根據條件，易證四邊形是平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面；

（2）由條件易證平面，，所以平面，，根據中點，，所以，，那么可證明平面，平面，根據面面垂直的判定定理，平面平面．

試題解析：證明：（1）因為平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于這兩個平面的交線AD，所以PA⊥底面ABCD．

因為AB∥CD，CD=2AB，E為CD的中點，所以AB∥DE，且AB=DE．

所以ABED為平行四邊形，所以BE∥AD．

又因為平面PAD，AD平面PAD，所以BE∥平面PAD．

（2）因為AB⊥AD，而且ABED為平行四邊形，所以BE⊥CD，AD⊥CD．

由（1）知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，因為PAAD=A，

所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD．

因為E和F分別是CD和PC的中點，所以PD∥EF，所以CD⊥EF．

又EFBE=E，所以CD⊥平面BEF．

所以平面BEF⊥平面PCD．